【明日使えないうんちく】ギャンブルで期待値を求めるのは本当に正しいのか

今回はギャンブルで期待値を求めるのは本当に正しいのかよりサンクトペテルブルクのパラドックスの話をしたいと思います。

期待値とは・・・

期待値とは、確率変数が取りうる値と発生する確率をかけて足し合わせたものが期待値です。確率変数の「平均的な値」を表します。

簡単にきさいしましたが、サイコロを１個ふったときの期待値を例として記載します。

確率変数がとりうる値（サイコロの目の数）と発生する確率（すべて1/6）を掛け合わせると1＊1/6＋2＊1/6＋３＊1/6＋４＊1/6＋５＊1/6＋６＊1/6＝3.5となり、一回サイコロを振った時の期待値は3.5となります。

ちなみにchatGPTに聞いたらこんな回答でしたｗ。わかりづらいのでお蔵行でしたが、一応出力したので置いておきます。

chatGTP様より
期待値は、確率変数が取りうる値とその確率の重み付き平均を示す数学的概念です。確率変数は、実験や事象の結果として確率的に取りうる値を表します。

期待値は、確率変数が取りうる値の重み付き平均として解釈できます。すなわち、それぞれの値をその確率で加重した平均値です。期待値は確率分布の中心傾向を表す指標であり、その値が大きいほど、その確率変数の「平均的な値」が高いことを意味します。

期待値は、確率論や統計学、およびそれらを応用した様々な分野で広く使用されます。例えば、ギャンブルや投資の分野では期待値を最大化する戦略を考えるために利用されますし、経済学や工学、生物学などの領域でも重要な役割を果たします。

ここで上のサイコロをふるギャンブルを例にして、どうしてギャンブルで期待値が使用されるかを記載していきます。サイコロの目がでた金額をもらえるというギャンブルを想定します。１が出たら１円、６がでたら６円もらえるギャンブルです。

このギャンブルに参加費用がいくらだったら、ギャンブルに参加しますか？

参加費が１円だったら、損をすることがないので必ず参加しますよね、一方で６円なら損しかしないので参加しないと思います。

では２円なら、３円ならと考えていくときにギャンブルに参加するかどうかを期待値で判定することができます。期待値は１回振った時の平均的な値を示すので参加費が3.5円以下なら儲かりやすいので参加、3.5円以上なら損しやすいので不参加すると判定することができます。

もし３円でこのギャンブルができるなら自分は一生サイコロを振っていると思います。

ここで今回の本題です。サンクトペテルブルクのパラドックスについて説明します。

ChatGPTにきいてみた

「サンクトペテルブルクのパラドックス」とは、確率論の分野における有名なパラドックスの一つです。このパラドックスは、賭けゲームの期待値と無限の価値に関連しています。

パラドックスの内容は以下のようなシチュエーションです：

ここで、ゲームに参加するための料金はどれくらいでもいいとします。例えば、$10や$1000などの大金を支払っても構いません。

このゲームにおいて、無限回ゲームを続ける場合、参加者が支払った料金に見合うような報酬が得られるかどうかが問題となります。一見、報酬が指数関数的に増加するため、期待値は無限大になるように見えます。

しかし、このパラドックスの解決には確率論の概念や期待値の計算、無限級数の理解が必要とされます。実際には、このゲームにおいて無限の報酬を得る確率はゼロに近く、期待値が無限大になるとは限りません。パラドックスの解決は、確率論や数学の理論を深く理解することによって行われます。

このように、サンクトペテルブルクのパラドックスは、初見では直感に反するような結果を示す興味深い確率論の問題です。

このように期待値だけでギャンブルを決めると痛い目をみるよという話ですね。期待値以外も考える必要があるということですね。もう一つたとえを書いてみますね

ここで最初のサイコロの問題を少し改変して考えてみましょう。

サイコロは10000面ダイスとして考え、1-9999の値は0円　10000の値は２兆円だとします。計算すると期待値は２億円です。つまり参加費が１億円だったとしても参加したほうがお得ということになります。

この場合、皆様は参加するでしょうか？